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  • 发布时间:2023-08-28 17:15:44
培训区域全国 辅导科目全科
授课形式辅导 适用学员小初高学生
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课程介绍 课程内容

            

三角函数

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考试内容:角概念推广.弧度制.三角函数的任意角.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系。正弦和余弦的诱导公式.正弦、余弦、正切两角和差.正弦,余弦,二倍角,正切.图像和性质的正弦函数,余弦函数.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求:(1)理解任意角的概念和弧度的意义,可以正确转换弧度和角度.(2)掌握任何角的正弦、余弦和正切的定义;了解余切、正切、余切的定义;掌握同角三角函数的基本关系;掌握正弦和余弦的诱导公式;了解周期函数和最小正周期的意义.(3)掌握正弦、余弦和正切公式,两角和两角之间的差异;掌握正弦、余弦和正切公式的两倍角.(4)三角公式可以正确使用,简单三角函数式简化、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)理解A的简图.ω、φ的物理意义.(6)已知三角函数值求角,使用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示.(7)掌握正弦定理和余弦定理,并可初步利用其解斜三角形.(8)“同角三角函数基本关系类型:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”.

解题思路:

关键是审清问题的意思,画出图形,建立解三角形模型,最后回答。

1、解决应用问题的一般步骤是:(1)分析:审查问题,理解问题的含义,区分已知和未知,根据问题的含义绘制意图;(2)建模:三角形和三角形中的已知或未知元素涉及实际问题。将已知量和求解量集中在一个三角形中;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理和面积公式有序地解决这些子三角形,以获得数学模型的解决方案。(4)检验:检验所需的解决方案是否符合实际意义,从而得出实际问题的解决方案。

2、应用题中几个角的概念(1)仰角、俯角(2)方向角(3)方向角

三角函数  知识要点

1. ①与(0°≤<360°)同一个角的集合(角的集合)与角终边重合):

②x轴末端角的集合:

③y轴末端角的集合:

④坐标轴末端角的集合:

⑤y=x轴末端角的集合:

⑥终边在轴上角的集合:

⑦若角与角关于x轴对称的最终边角与角的关系:

⑧若角与角关于y轴对称的最终边角与角的关系:

⑨若角与角在一条直线上,角的末端与角的关系:

⑩角与角如果角的末端相互垂直,则角的末端相互垂直与角的关系:

2. 角度与弧度的交换关系:360°=2 180°= 1°=0.01745  1=57.30°=57°18′

注:正角弧度为正数,负角弧度为负数,零角弧度为零.

、弧度与角度交换公式:  1rad=°≈57.30°=57°18ˊ.     1°=≈0.01745(rad)

3、弧长公式:.       扇形面积公式:

4、三角函数:设置是任意角,在终边上任取(与原点不同)一点P(x,y)如果P与原点的距离为r,则P与原点的距离为r  ;  ;  ;  ;  ;. .

5、各象限三角函数的符号:(一全二正弦,三切四余弦)

 

6、三角函数线

   正弦线:MP;   余弦线:OM;    正切线: AT.

 

7. 三角函数的定义域:

三角函数

                 定义域

sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函数的基本关系类型:   

   

9、诱导公式:

“奇变偶不变,符号看象限”

三角函数公式:(1)基本关系

 

公式组二                  公式组三

                                                 

公式组四               公式组五               公式组六            

                         

(二)角与角之间的交换

 

 

公式组一                                  公式组二

  

  

      

  

             

          

公式组三                    公式组四                                    公式组五

       

  

    

,,,.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图像性质:

 

 

 

 

 

(A、>0)

定义域

R

R

 

 

R

值域

R

R

周期性

 

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

非奇非偶

奇函数

 

 

 

 

 

 

单调性

上为增函数;上为减函数(

;上为增函数

上为减函数

 

上为增函数(

上为减函数(

上为增函数;

上为减函数(

注意:①单调正好相反;单调性也相反。一般来说,如果上递增(减),则上递减(增).

的周期是.

)的周期.

的周期为2,如图所示,折叠无效).

对称轴方程是),对称中心();对称轴方程是),对称中心();的对称中心().

⑤当··.

是同一函数,而且是偶函数,然后

.

⑦函数上为增函数.(×) [[只能在单调范围内单调递增. 如果是整个定义域,增加函数也是错误的].

⑧定义域关于原点对称具有奇偶性的必要条件不足.(奇偶性有两个条件:一是定义域对称原点(奇偶都需要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)

奇函数的独特性:若定义域,是的一定有.(定义域,则无此性质)

不是周期函数;为周期函数();

周期函数(如图所示);为周期函数();

的周期为(如图所示)并非所有周期函数都有最小正周期,例如:

.

.

11、三角函数图像的作法:

1)、几何法:

2)、描点法及其特例-五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).

3)、将图像转换为三角函数图像图像.

三角函数的图像变换包括振幅变换、周期变换和相位变换.

函数y=Asin(ωx+φ)振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 上述公式可以去除有效值符号),

由y=Sinx图像上点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A||>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx图像称为振幅变换或沿y轴伸缩变换.(用y/A替换y)

由y=Sinx图像上点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinω x的图像称为周期变换或沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)

由y=当sinx图像上的所有点都向左时(φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|单位,得到y=sin(x+φ)图像称为相位变换或沿x轴平移.(用x+φ替换x)

由y=所有点向上的sinx图像(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|一个单位,得y=sinx+B的图像称为沿y轴方向平移的图像.(用y+(-b)替换y)

由y=Sinx的图像使用图像转换为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)图像,要特别注意:当周期变换和相位变换的顺序不同时,原图像延x轴量伸缩量的差异。

4、反三角函数:

函数y=sinx,反函数称为反正弦函数,记录y=arcsinx,它的定义域是[-1,1],值域是

函数y=cosx,(x∈[0,π])反余弦函数称为反余弦函数,记录y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].

函数y=tanx,反函数称为反正切函数,记录y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是

函数y=ctgx,[x∈(0,π)]反函数称为反余切函数,记录y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).

反三角函数:⑴反正弦函数是奇函数,所以(必须注明定义域,如果,没有一一对应,所以无反函数)

注:.

⑵反余弦函数非奇非偶,但是有.

注:①.

是偶函数,非奇非偶,而为奇函数.

⑶反正切函数:,定义域,值域(),是奇函数,

.

注:.

⑷反余切函数:,定义域,值域(),是非奇非偶.

.

注:①.

互为奇函数,同理为奇而非奇非偶只满足.

 

⑵ 解集正弦、余弦、正切、余切函数:

的取值范围   解集                             的取值范围   解集

的解集                               ②的解集

>1                                        >1           

=1                  =1  

<1            <1 

的解集:   

的解集:

二、三角恒等式.

组一

 

组二

组三 三角函数不等式

            上是减函数

,则

经典例题:

解三角形的应用举例经典例题1

 

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