三角函数
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考试内容:角概念推广.弧度制.三角函数的任意角.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系。正弦和余弦的诱导公式.正弦、余弦、正切两角和差.正弦,余弦,二倍角,正切.图像和性质的正弦函数,余弦函数.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
考试要求:(1)理解任意角的概念和弧度的意义,可以正确转换弧度和角度.(2)掌握任何角的正弦、余弦和正切的定义;了解余切、正切、余切的定义;掌握同角三角函数的基本关系;掌握正弦和余弦的诱导公式;了解周期函数和最小正周期的意义.(3)掌握正弦、余弦和正切公式,两角和两角之间的差异;掌握正弦、余弦和正切公式的两倍角.(4)三角公式可以正确使用,简单三角函数式简化、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)理解A的简图.ω、φ的物理意义.(6)已知三角函数值求角,使用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示.(7)掌握正弦定理和余弦定理,并可初步利用其解斜三角形.(8)“同角三角函数基本关系类型:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”.
解题思路:
关键是审清问题的意思,画出图形,建立解三角形模型,最后回答。
1、解决应用问题的一般步骤是:(1)分析:审查问题,理解问题的含义,区分已知和未知,根据问题的含义绘制意图;(2)建模:三角形和三角形中的已知或未知元素涉及实际问题。将已知量和求解量集中在一个三角形中;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理和面积公式有序地解决这些子三角形,以获得数学模型的解决方案。(4)检验:检验所需的解决方案是否符合实际意义,从而得出实际问题的解决方案。
2、应用题中几个角的概念(1)仰角、俯角(2)方向角(3)方向角
三角函数 知识要点
1. ①与(0°≤<360°)同一个角的集合(角的集合)与角终边重合):
②x轴末端角的集合:
③y轴末端角的集合:
④坐标轴末端角的集合:
⑤y=x轴末端角的集合:
⑥终边在轴上角的集合:
⑦若角与角关于x轴对称的最终边角与角的关系:
⑧若角与角关于y轴对称的最终边角与角的关系:
⑨若角与角在一条直线上,角的末端与角的关系:
⑩角与角如果角的末端相互垂直,则角的末端相互垂直与角的关系:
2. 角度与弧度的交换关系:360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注:正角弧度为正数,负角弧度为负数,零角弧度为零.
、弧度与角度交换公式: 1rad=°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=≈0.01745(rad)
3、弧长公式:. 扇形面积公式:
4、三角函数:设置是任意角,在终边上任取(与原点不同)一点P(x,y)如果P与原点的距离为r,则P与原点的距离为r ; ; ; ; ;. .
5、各象限三角函数的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
7. 三角函数的定义域:
三角函数 | 定义域 |
sinx | |
cosx | |
tanx | |
cotx | |
secx | |
cscx |
8、同角三角函数的基本关系类型:
9、诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数公式:(1)基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
(二)角与角之间的交换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
,,,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图像性质:
|
|
|
|
| (A、>0) |
定义域 | R | R |
|
| R |
值域 | R | R | |||
周期性 |
| ||||
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 奇函数 | 当非奇非偶 当奇函数 |
单调性 | 上为增函数;上为减函数() | ;上为增函数 上为减函数 ()
| 上为增函数() | 上为减函数() | 上为增函数; 上为减函数() |
注意:①与单调正好相反;与单调性也相反。一般来说,如果在上递增(减),则在上递减(增).
②与的周期是.
③或()的周期.
的周期为2(,如图所示,折叠无效).
④对称轴方程是(),对称中心();对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().
⑤当·;·.
⑥与是同一函数,而且是偶函数,然后
.
⑦函数在上为增函数.(×) [[只能在单调范围内单调递增. 如果是整个定义域,增加函数也是错误的].
⑧定义域关于原点对称具有奇偶性的必要条件不足.(奇偶性有两个条件:一是定义域对称原点(奇偶都需要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)
奇函数的独特性:若定义域,是的一定有.(定义域,则无此性质)
⑨不是周期函数;为周期函数();
周期函数(如图所示);为周期函数();
的周期为(如图所示)并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
.
⑩ 有.
11、三角函数图像的作法:
1)、几何法:
2)、描点法及其特例-五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)、将图像转换为三角函数图像图像.
三角函数的图像变换包括振幅变换、周期变换和相位变换.
函数y=Asin(ωx+φ)振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 上述公式可以去除有效值符号),
由y=Sinx图像上点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A||>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx图像称为振幅变换或沿y轴伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=Sinx图像上点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinω x的图像称为周期变换或沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)
由y=当sinx图像上的所有点都向左时(φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|单位,得到y=sin(x+φ)图像称为相位变换或沿x轴平移.(用x+φ替换x)
由y=所有点向上的sinx图像(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|一个单位,得y=sinx+B的图像称为沿y轴方向平移的图像.(用y+(-b)替换y)
由y=Sinx的图像使用图像转换为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)图像,要特别注意:当周期变换和相位变换的顺序不同时,原图像延x轴量伸缩量的差异。
4、反三角函数:
函数y=sinx,反函数称为反正弦函数,记录y=arcsinx,它的定义域是[-1,1],值域是.
函数y=cosx,(x∈[0,π])反余弦函数称为反余弦函数,记录y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].
函数y=tanx,反函数称为反正切函数,记录y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是.
函数y=ctgx,[x∈(0,π)]反函数称为反余切函数,记录y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).
反三角函数:⑴反正弦函数是奇函数,所以,(必须注明定义域,如果,没有与一一对应,所以无反函数)
注:,,.
⑵反余弦函数非奇非偶,但是有,.
注:①,,.
②是偶函数,非奇非偶,而和为奇函数.
⑶反正切函数:,定义域,值域(),是奇函数,
,.
注:,.
⑷反余切函数:,定义域,值域(),是非奇非偶.
,.
注:①,.
②与互为奇函数,同理为奇而与非奇非偶只满足.
⑵ 解集正弦、余弦、正切、余切函数:
的取值范围 解集 的取值范围 解集
①的解集 ②的解集
>1 >1
=1 =1
<1 <1
③的解集:
③的解集:
二、三角恒等式.
组一
组二
组三 三角函数不等式
<< 在上是减函数
若,则
经典例题: