已知两点(x1、y1)(x2、y2),则斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)。直线的斜率可以理解为倾斜的程度,是横坐标轴正夹角的直切,反映了直线对水平面的倾斜。小编为大家整理了相关内容,大家继续往下看。
如何找到直线的斜率
三种方法:(斜率存在时)
1.已知倾斜角a,斜率k=tana
2.已知两点(x1,y1)(x2,y2),则斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
3.已知直线的方向向量(a,b)则斜率k=b/a
什么是直线斜率?
可以理解为倾斜的程度,是横坐标轴正夹角直线的正切,反映了直线对水平面的倾斜。直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)。
如果直线垂直于x轴,直角的正切值无限大,则直线没有斜率。当直线L的斜率存在时,对于一个函数y=kx+b(斜截),k是函数图像(直线)的斜率。
直线与方程
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倾斜角和斜率
1、直线倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 以x轴为基准,取x轴为基准, x轴正向和直线l向上方向之间的角度α称为直线l倾斜角.特别是当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l垂直于x轴时, α= 90°.
3、直线斜率:
一条直线倾斜角α(α≠90°)正切值称为直线斜率。斜率通常由小写字母k表示,即 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l垂直于x轴时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 直线l的倾斜角α一定存在,但斜率k不一定存在.
4、 直线斜率公式:
P1(x1,y1)给定两点,P2(x2,y2)≠x2,直线P1P2的斜率用两点坐标表示:
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
两条直线的平行和垂直
1、两条直线都有斜率,不重叠。如果它们平行,它们的斜率是相等的;相反,如果它们的斜率是相等的,它们是平行的,也就是说
注意: 上述等价是在两条直线不重叠和斜率存在的前提下建立的。没有这个前提,结论就没有确定.也就是说,如果k1=k2, 所以一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率。如果它们是垂直的,它们的斜率是负倒数;相反,如果它们的斜率是负倒数,它们是垂直的,也就是说
直线点斜方程
1、 直线点斜方程:直线点斜方程经过点,且斜率为
2、、直线斜截方程:已知直线的斜率为,且与轴的交点为
直线两点方程
1、线性两点方程:已知两点方程其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线截距方程:已知直线与轴的交点为A,与轴的交点为B,其中
一般直线方程
1、关于直线的一般方程:关于二元一次方程(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
直线交点坐标与距离公式
两条线的交点坐标
1、给出例题:两个直线交点坐标:
L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0
解:解方程
得 x=-2,y=2
因此,L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
1、两点间距离
两点之间的距离公式
2、点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
点到直线的距离为:
2、两条平行线之间的距离公式:
已知两条平行线直线和一般方程是:,
:,则与的距离为
直线斜率是衡量直线倾斜度的值。只要深入研究,就会发现直线斜率值的解题是多方面的。如果你掌握了用直线斜率来处理这些问题,你可以大大简化解决问题的速度.
1 借助直线斜率巧妙解决应用问题
例1 为了配合素质教育,一所学校的一年级使用教室作为学生绘画成果展览室。为了节省资金,他们使用桌子作为展位,把装饰画的框架放在桌子上,斜展示。已知框架对桌面的倾斜角是α(90°≤α<180°)在镜框中,画的上下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m(a>b).问学生离镜框下缘有多远,看画理想?
解 建立如图所示的直角坐标系,AO是框架边缘,AB是画的宽度,O是下边缘的一点,在x轴的正半轴上找到一点C(x,0)(x>0),为了使看画的理想,应该使用∠ACB获得最大值.
三角函数的定义:A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、(bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为:
kAC=tanxCA=,.
于是tanACB=
由于∠ACB是锐角,x>tanACB,tanACB≤,当且仅当=x,即x=时,等号成立,此时∠ACB取最大值,对应点为C(,0)。因此,学生距离镜框下缘 当cm处时,视角最大,即观看理想.
点评 这个问题是一个非常实用的数学问题。它不仅试试了两点连接的斜率公式、不等式法和三角形知识的综合应用,而且试试了将实际问题转化为数学问题的能力.解决这个问题有几个非常重要的问题。一是建立适当的坐标系,将问题转化为解决几何问题;二是进一步将问题转化为最大值,从而转化为相关斜率的问题.
2 借助直线的斜率比较大小
例2 如果设置M=,则M与N的大小关系为( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.无法判断 解析 将问题转化为比较A(-1,-1)与B由于B(102001、102000)和C(102002、102001)连接的斜率大小,、C两点的直线方程是y=x,点A在直线下方,∴kAB>kAC,即M>N.答案:A.
点评 按照常规方法直接处理这个问题会比较困难,直线斜率的几何意义会直接明确,容易处理.
3 在直线斜率的帮助下,找到直线方程
例3.过点P(2,1)作为直线L分别交x,y的正半轴在A,B两点,求(1)△ABO区域的最小值和相应的直线方程;(2)如果︱PA︱·︱PB︱当取最小值时,求直线方程.
解析 显然存在直线效率,设置直线方程为y-1=k(x-2)(k<0),得到A(), B(0,1-2k),(1)S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=(1-2k)=2+(-2k-)
∵k<0 ∴S△ABO≥4.此时,直线为x+2y-4=0.
(2)︱PA︱·︱PB︱=, 此时,直线为x+y-3=0.
4 结构直线斜率证明不等式问题
例4.已知a、b、m是正实数,a是正实数<b,求证:.
证明 如图所示,在平面直角坐标系中设置点、点. 由m>0和0<a<B知点A在直线y=x在第三象限图像上,点B在直线y=x在首要象限图像下,因此可以得到斜率,即原始不等式验证.
点评 这是高二数学上册新教材的一个例子.教科书是通过比较法证明的,但仔细研究会发现也可以通过结构直线斜率一次性证明不等式,因为证明类型类似于直线斜率表达式,所以可以利用主题条件构建直线,然后利用倾斜角的大小和斜率之间的关系来证明不等式.
5 解决变量或参数范围问题的结构直线斜率
例5 若在圆上运动,则要求的取值范围.
解 因为是直线OP(斜率,在圆上,当P点是从原点O到圆的切点时,得到最大值和最小值.
设置直线OP的斜率为k,直线OP的方程为y=kx,圆心C的坐标为,半径为.由于圆心C到切线的距离等于半径,因此可以得到方程:,解决方案.因此,取值范围为.
点评 可以看作是点与原点连接的直线的斜率,可以构建以下函数:设置k=,得到函数y=kx.因此,所需的取值范围问题可以转换为所需函数y=kx对应直线斜率的取值范围问题.